Actividad 4


Las ecuaciones de Lotka-Volterra, también son conocidas como ecuaciones de depredador-presa, descrito por un sistema de 2 ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden que se utiliza frecuentemente para describir la dinámica de sistemas biológicos donde interaccionan dos especies, un depredador y una de sus presas. El sistema evoluciona de acuerdo al par de ecuaciones:
external image 65448c29008a5b699368d6c14eb28ee3.png
external image 50b25b22aa08b82c92b2a75e86d2dc01.png
donde:
  • y, es el número de depredadores (por ej. Zorros)
  • x, es el número de presas (por ej. Conejos)
  • t, es el tiempo
  • external image f43a87b189f0f93d08fd1887fc37fca1.png y external image 7cb20633fba135d171ae1d317136bfc5.png, representan el crecimiento en las dos poblaciones, con respecto al tiempo.
  • α, β, γ y δ, son parámetros que representan la interacción entre las dos especies.

Actividad 4.1

Se pretende integrar las ecuaciones de Lotka-Volterra, a partir del tutorial en el sitio de SciPy.Org en la sección de CookBook.
Alli se provee el código en lenguaje Python para su solución.

Podrás apoyarte en la sección de Recursos de Python de esta sitio, para configurar el ambiente de programación en Pyhton.

El ejercicio de la primera actividad consta en instalar el lenguaje de programación Pyhton versión 2.6, el paquete de herramientas matemáticas y cómputo científico SciPy, NumPy y MatPlotlib.
(Nota: Se puede instalar una suite completa de herramientas de programacón en Python: ENTHOUGHT, licencia académica.)

Nota 2:
Abrir una Terminal. Para ejecutar el editor Emacs dentro de Python, tienen que declarar la variable EDITOR en su perfil.
Editen el archivo ".profile" en su directorio raiz y agreguen (Linux y MacOS):

EDITOR="/usr/bin/emacs"
export EDITOR

asegurandose que sea la trayectoria a Emacs.

Ejecuten: source .profile; echo $EDITOR

y si regresa "/usr/bin/emacs" ya está listo.

Ejecuta "ipython" y luego llamen la edición del archivo.

%edit tutorial_lokta-voltera_v4.py

Guardar y salir (Ctrl-X Ctrl-S) y se ejecutará todo el programa que editaron.

Enseguida apareceran las 3 graficas que pedia de la ecuación de Lotka-Volterra.

Suerte!




Actividad 4.2

Puntos de equilibrio, en el cual la dinámica de las poblaciones son estables, es decir las derivadas son cero.

Resuelva el sistema de ecuaciones algebraicas para x y y, cuando las derivadas se anulan.
Encuentre los dos puntos de equilibrio en el espacio xy y determine que tipo de puntos críticos son.

Actividad 4.3

Obten la solución del sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra, para el número de conejos x(t), y zorros y(t), como funciones del tiempo,
utilizando la función scipy.integrate para integrar el sistema de ecuaciones diferenciales.

Obtenga la evolución en el espacio fase de ambas poblaciones utilizando Matplotlib.

Actividad 4.4 (Reto opcional)

Implementar un simulador de las ecuaciones de Lotka-Volterra, cuya fuente se puede descargar de un proyecto en Google Code.

Referencias:
Frank Hoppensteadt (2006), Scholarpedia, 1(10):1563.